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Généralités sur les polynômes
Cours première ES

On commence par quelques généralités sur les polynômes en 1ère ES avec la définition, un théorème fondamental et un petit exemple simple.

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Tout d'abord : Qu'es ce qu'un polynôme ?

Définitions

Polynôme

Un polynôme non nul de degré n est une fonction définie sur ℝ comme suit :

P(x) = anxn + an - 1xn - 1 + an - 2xn - 2 + … + a1x + a0


Avec a0, a1, …, an des réels et an ≠ 0.
On dit que α est racine du polynôme P si : P(α) = 0.

Si on remplace l'inconnue d'un polynôme par sa racine, on annule ce polynôme.

Exemple

Le polynôme x³ + x² - 2 et un polynôme de degré 3 ayant pour racine 1 car :

1³ + 1² - 2 = 0


Les définitions maintenant posées, je vais vous donner un premier théorème sur les polynômes.

Théorème

Théorème sur les polynômes

Soit P un polynôme non nul de degré n et α un réel.
Si α est racine du polynôme P, alors il existe un polynôme Q(x) tel que :

P(x) = (x - α) × Q(x)

Si on a α une racine d'un polynôme, c'est qu'on peut le factoriser par (x - α), voilà ce que cela veut dire.

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