Au préalable, je vais vous définir la notion de fonction composée pour ensuite vous montrer comment déterminer la limite d'une telle fonction. Encore une fois, je vous donne des exemples clairs.
Je vous défini une nouvelle notion : la composition de fonctions.
Définition
Composition de fonctions
Soient f une fonction définie sur I et g(x) une fonction définie sur f(I).La fonction
(on dit "g rond f")est la fonction définie aussi sur le domaine I par :
En fait, on remplace la variable de la fonction g par la fonction f.
Exemple
Soient deux fonctions f(x) = x + 1 et g(x) = 3x - 2x + 1.
Si on veut :
Vous avez saisie l'idée ?
Je vous laisse terminer le calcul.
Si on veut
:
Vous avez saisie l'idée ?
Je vous laisse terminer le calcul.
Théorème
Limite d'une fonction composée
Soient f une fonction définie sur I, g une fonction définie sur f(I), a un élément de I (borne comprise), L et L' deux réels ou ±∞.Si :
Alors :
On a une première fonction f qui tend vers L lorsque sa variable x tend vers a.
Puis une seconde fonction g qui tend vers L' lorsque sa variable X tend vers L, la limite de la première fonction f.
Alors, la composée de ces deux fonction tend vers L', limite de la seconde fonction g.
C'est quelque chose d'important. C'est pourquoi je vous donne quatre exemples différents, de difficulté progressive.
Exemple 1
Déterminer la limite en +∞ de la fonction 
.
C'est la fonction g(x) = x³ - 2x² + 5x + 3 composée avec la fonction racine
.
Calculons la limite de g.
Calculons aussi la limite de h quand x tend vers la limite de g soit +∞.
C'est facile en fait. On fait tendre l'intérieur de la racine vers l'infini. Le résultat est l'infini. Puis on regarde la limite de la racine de l'infini. Ce qui nous donne ...
.
C'est la fonction g(x) = x³ - 2x² + 5x + 3 composée avec la fonction racine
.
Calculons la limite de g.
Calculons aussi la limite de h quand x tend vers la limite de g soit +∞.
C'est facile en fait. On fait tendre l'intérieur de la racine vers l'infini. Le résultat est l'infini. Puis on regarde la limite de la racine de l'infini. Ce qui nous donne ...
Exemple 2
Un peu plus difficile. Calculer la limite suivante :
On bien que 2 est la valeur interdite de cette fraction car : -2² + 5 × 2 - 6 = 0.
On a aussi la valeur 3 comme valeur interdite mais ne nous en préoccupons pas ici, on cherche la limite en 2, pas en 3.
Nous allons devoir étudier cette limite au voisinage de 2, c'est-à-dire autour de 2. On l'étudiera en
(très proche de 2 mais toujours inférieur) et en 
(très proche de 2 mais toujours supérieur).
Nous allons donc avoir besoin du signe de la quantité -x² + 5x - 6 pour un x tendant vers et pour un x tendant vers . Dressons-le.
On voit bien donc que le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif avant 2 et positif après. Autrement dit, en, le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif et en il est positif. On a ce qu'on voulait !
Calculons maintenant les limites :
On va faire le quotient de ce polynôme.
Or, en, le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif, donc son quotient va tendre vers -∞ et en il est positif, son quotient va tendre vers +∞.
N'oublions pas la limite du numérateur.
En fait, vu que 2 n'est pas une valeur interdite pour le numérateur, on a :
Cette limite est négative. Quand on fait le quotient des deux limites, on trouvera donc :
Fiou ! On a terminé. Vous voyez bien que la limites diffère en fonction de la position de x : en elle vaut +∞ et en elle vaut -∞.
On bien que 2 est la valeur interdite de cette fraction car : -2² + 5 × 2 - 6 = 0.
On a aussi la valeur 3 comme valeur interdite mais ne nous en préoccupons pas ici, on cherche la limite en 2, pas en 3.
Nous allons devoir étudier cette limite au voisinage de 2, c'est-à-dire autour de 2. On l'étudiera en
(très proche de 2 mais toujours inférieur) et en (très proche de 2 mais toujours supérieur).
Nous allons donc avoir besoin du signe de la quantité -x² + 5x - 6 pour un x tendant vers
et pour un x tendant vers . Dressons-le.
On voit bien donc que le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif avant 2 et positif après. Autrement dit, en
, le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif et en il est positif. On a ce qu'on voulait !
Calculons maintenant les limites :
On va faire le quotient de ce polynôme.
Or, en
, le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif, donc son quotient va tendre vers -∞ et en il est positif, son quotient va tendre vers +∞.
N'oublions pas la limite du numérateur.
En fait, vu que 2 n'est pas une valeur interdite pour le numérateur, on a :
Cette limite est négative. Quand on fait le quotient des deux limites, on trouvera donc :
Fiou ! On a terminé. Vous voyez bien que la limites diffère en fonction de la position de x : en
elle vaut +∞ et en elle vaut -∞.