Dérivation

Etude de deux fonctions
Correction exercice terminale S

On considère les fonctions, définies sur l'ensemble des réels, suivantes :
étude de fonctions et dérivées
  • Etude de f :

    - Calculer la dérivée de f.
    - Etudier le signe de cette dérivée.
    - En déduire le tableau de variations de la fonction f.

    Calculer la dérivée de f.

    f '(x) = 1


    Etudier le signe de cette dérivée.

    La dérivée est constante égale à 1, donc toujours positive.

    En déduire le tableau de variations de la fonction f.

    La dérivée est toujours strictement positif, donc la fonction est toujours strictement croissante.
    On aurait pu directement le deviner en regardant simplement la fonction vu que c'est une fonction affine.

    tableau de variations


  • Etude de g :

    - Calculer la dérivée de g.
    - Etudier le signe de cette dérivée.
    - En déduire le tableau de variations de la fonction g.

    Calculer la dérivée de g.

    On a : u = x2 et v = x - 1.
    Donc : u' = 2x et v' = 1.

    calcul d'une dérivée


    Etudier le signe de cette dérivée.

    Le dénominateur étant strictement positif, car c'est un carré, le signe de la dérivée dépend que du numérateur.
    Mais quand es - ce que ce numérateur s'annule-t-il ? Quant l'un de ses facteurs est nuls.
    Soit, pour x = 0 ou x = 2.

    Attention à ne pas oublier la valeur interdite dans le tableau.
    Cette valeur interdite est 1.
    On a donc le tableau de signe de la dérivée suivant.

    tableau de valeurs
    En déduire le tableau de variations de la fonction g.

    Là où la dérivée est positive, la fonction est croissante.
    Là où la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

    tableau de variations


  • Comparaison des deux fonctions :

    Graphiquement :
    - Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g dans un même repère dans l'intervalle [-3, 5].
    - Quels sont les coordonnées des éventuels points d'intersections de ces deux courbes ?

    Numériquement :
    - Quelle équation faut-il résoudre pour répondre à la question précédente ?
    - La résoudre.

    GRAPHIQUEMENT :

    Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g dans un même repère dans l'intervalle [-3, 5].

    courbe représentative de la fonction f
    Quels sont les coordonnées des éventuels points d'intersections de ces deux courbes ?

    Par lecture graphique, les deux courbes se coupent en un point, que l'on notera A, de coordonnées A(1/2; 1/2).

    NUMERIQUEMENT :

    Quelle équation faut-il résoudre pour répondre à la question précédente ?

    Il faut résoudre : f(x) = g(x).

    La résoudre.

    equation à résoudre


    On a trouvé le x, on remplace dans une des deux fonctions pour trouver le y.
    On retrouve bien le point A de coordonnées A(1/2; 1/2).


Etude de deux fonctions - Exercices de maths terminale S - Etude de deux fonctions
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